3.56 \(\int e^{-a-b x} x^3 (a+b x)^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=397 \[ -\frac{6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{6 a^3 x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac{3 a^3 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-\frac{a^3 x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac{72 a^2 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{72 a^2 x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac{36 a^2 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-3 a^2 x^4 e^{-a-b x}-\frac{12 a^2 x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac{360 a e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{720 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{360 a x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac{720 x e^{-a-b x}}{b^3}-b^2 x^6 e^{-a-b x}-\frac{180 a x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-\frac{360 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-3 a b x^5 e^{-a-b x}-6 b x^5 e^{-a-b x}-15 a x^4 e^{-a-b x}-30 x^4 e^{-a-b x}-\frac{60 a x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac{120 x^3 e^{-a-b x}}{b} \]

[Out]

(-720*E^(-a - b*x))/b^4 - (360*a*E^(-a - b*x))/b^4 - (72*a^2*E^(-a - b*x))/b^4 -
(6*a^3*E^(-a - b*x))/b^4 - (720*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (360*a*E^(-a - b*x)*x)/b^
3 - (72*a^2*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (6*a^3*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (360*E^(-a - b*x)
*x^2)/b^2 - (180*a*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (36*a^2*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (3*a^
3*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (120*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (60*a*E^(-a - b*x)*x^3)/b -
(12*a^2*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (a^3*E^(-a - b*x)*x^3)/b - 30*E^(-a - b*x)*x^4 -
15*a*E^(-a - b*x)*x^4 - 3*a^2*E^(-a - b*x)*x^4 - 6*b*E^(-a - b*x)*x^5 - 3*a*b*E^
(-a - b*x)*x^5 - b^2*E^(-a - b*x)*x^6

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.840858, antiderivative size = 397, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 24, number of rules used = 3, integrand size = 21, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.143 \[ -\frac{6 a^3 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{6 a^3 x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac{3 a^3 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-\frac{a^3 x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac{72 a^2 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{72 a^2 x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac{36 a^2 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-3 a^2 x^4 e^{-a-b x}-\frac{12 a^2 x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac{360 a e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{720 e^{-a-b x}}{b^4}-\frac{360 a x e^{-a-b x}}{b^3}-\frac{720 x e^{-a-b x}}{b^3}-b^2 x^6 e^{-a-b x}-\frac{180 a x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-\frac{360 x^2 e^{-a-b x}}{b^2}-3 a b x^5 e^{-a-b x}-6 b x^5 e^{-a-b x}-15 a x^4 e^{-a-b x}-30 x^4 e^{-a-b x}-\frac{60 a x^3 e^{-a-b x}}{b}-\frac{120 x^3 e^{-a-b x}}{b} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[E^(-a - b*x)*x^3*(a + b*x)^3,x]

[Out]

(-720*E^(-a - b*x))/b^4 - (360*a*E^(-a - b*x))/b^4 - (72*a^2*E^(-a - b*x))/b^4 -
(6*a^3*E^(-a - b*x))/b^4 - (720*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (360*a*E^(-a - b*x)*x)/b^
3 - (72*a^2*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (6*a^3*E^(-a - b*x)*x)/b^3 - (360*E^(-a - b*x)
*x^2)/b^2 - (180*a*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (36*a^2*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (3*a^
3*E^(-a - b*x)*x^2)/b^2 - (120*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (60*a*E^(-a - b*x)*x^3)/b -
(12*a^2*E^(-a - b*x)*x^3)/b - (a^3*E^(-a - b*x)*x^3)/b - 30*E^(-a - b*x)*x^4 -
15*a*E^(-a - b*x)*x^4 - 3*a^2*E^(-a - b*x)*x^4 - 6*b*E^(-a - b*x)*x^5 - 3*a*b*E^
(-a - b*x)*x^5 - b^2*E^(-a - b*x)*x^6

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 56.6496, size = 371, normalized size = 0.93 \[ - \frac{a^{3} x^{3} e^{- a - b x}}{b} - \frac{3 a^{3} x^{2} e^{- a - b x}}{b^{2}} - \frac{6 a^{3} x e^{- a - b x}}{b^{3}} - \frac{6 a^{3} e^{- a - b x}}{b^{4}} - 3 a^{2} x^{4} e^{- a - b x} - \frac{12 a^{2} x^{3} e^{- a - b x}}{b} - \frac{36 a^{2} x^{2} e^{- a - b x}}{b^{2}} - \frac{72 a^{2} x e^{- a - b x}}{b^{3}} - \frac{72 a^{2} e^{- a - b x}}{b^{4}} - 3 a b x^{5} e^{- a - b x} - 15 a x^{4} e^{- a - b x} - \frac{60 a x^{3} e^{- a - b x}}{b} - \frac{180 a x^{2} e^{- a - b x}}{b^{2}} - \frac{360 a x e^{- a - b x}}{b^{3}} - \frac{360 a e^{- a - b x}}{b^{4}} - b^{2} x^{6} e^{- a - b x} - 6 b x^{5} e^{- a - b x} - 30 x^{4} e^{- a - b x} - \frac{120 x^{3} e^{- a - b x}}{b} - \frac{360 x^{2} e^{- a - b x}}{b^{2}} - \frac{720 x e^{- a - b x}}{b^{3}} - \frac{720 e^{- a - b x}}{b^{4}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate(exp(-b*x-a)*x**3*(b*x+a)**3,x)

[Out]

-a**3*x**3*exp(-a - b*x)/b - 3*a**3*x**2*exp(-a - b*x)/b**2 - 6*a**3*x*exp(-a -
b*x)/b**3 - 6*a**3*exp(-a - b*x)/b**4 - 3*a**2*x**4*exp(-a - b*x) - 12*a**2*x**3
*exp(-a - b*x)/b - 36*a**2*x**2*exp(-a - b*x)/b**2 - 72*a**2*x*exp(-a - b*x)/b**
3 - 72*a**2*exp(-a - b*x)/b**4 - 3*a*b*x**5*exp(-a - b*x) - 15*a*x**4*exp(-a - b
*x) - 60*a*x**3*exp(-a - b*x)/b - 180*a*x**2*exp(-a - b*x)/b**2 - 360*a*x*exp(-a
- b*x)/b**3 - 360*a*exp(-a - b*x)/b**4 - b**2*x**6*exp(-a - b*x) - 6*b*x**5*exp
(-a - b*x) - 30*x**4*exp(-a - b*x) - 120*x**3*exp(-a - b*x)/b - 360*x**2*exp(-a
- b*x)/b**2 - 720*x*exp(-a - b*x)/b**3 - 720*exp(-a - b*x)/b**4

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 0.0804031, size = 121, normalized size = 0.3 \[ e^{-a-b x} \left (-3 \left (a^2+5 a+10\right ) x^4-\frac{6 \left (a^3+12 a^2+60 a+120\right )}{b^4}-\frac{6 \left (a^3+12 a^2+60 a+120\right ) x}{b^3}-\frac{3 \left (a^3+12 a^2+60 a+120\right ) x^2}{b^2}-\frac{\left (a^3+12 a^2+60 a+120\right ) x^3}{b}-3 (a+2) b x^5-b^2 x^6\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[E^(-a - b*x)*x^3*(a + b*x)^3,x]

[Out]

E^(-a - b*x)*((-6*(120 + 60*a + 12*a^2 + a^3))/b^4 - (6*(120 + 60*a + 12*a^2 + a
^3)*x)/b^3 - (3*(120 + 60*a + 12*a^2 + a^3)*x^2)/b^2 - ((120 + 60*a + 12*a^2 + a
^3)*x^3)/b - 3*(10 + 5*a + a^2)*x^4 - 3*(2 + a)*b*x^5 - b^2*x^6)

_______________________________________________________________________________________

Maple [A]  time = 0.007, size = 182, normalized size = 0.5 \[ -{\frac{ \left ({b}^{6}{x}^{6}+3\,{b}^{5}{x}^{5}a+3\,{a}^{2}{b}^{4}{x}^{4}+6\,{b}^{5}{x}^{5}+{a}^{3}{b}^{3}{x}^{3}+15\,a{b}^{4}{x}^{4}+12\,{a}^{2}{b}^{3}{x}^{3}+30\,{x}^{4}{b}^{4}+3\,{a}^{3}{b}^{2}{x}^{2}+60\,a{b}^{3}{x}^{3}+36\,{a}^{2}{b}^{2}{x}^{2}+120\,{x}^{3}{b}^{3}+6\,{a}^{3}bx+180\,a{b}^{2}{x}^{2}+72\,{a}^{2}bx+360\,{b}^{2}{x}^{2}+6\,{a}^{3}+360\,abx+72\,{a}^{2}+720\,bx+360\,a+720 \right ){{\rm e}^{-bx-a}}}{{b}^{4}}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int(exp(-b*x-a)*x^3*(b*x+a)^3,x)

[Out]

-(b^6*x^6+3*a*b^5*x^5+3*a^2*b^4*x^4+6*b^5*x^5+a^3*b^3*x^3+15*a*b^4*x^4+12*a^2*b^
3*x^3+30*b^4*x^4+3*a^3*b^2*x^2+60*a*b^3*x^3+36*a^2*b^2*x^2+120*b^3*x^3+6*a^3*b*x
+180*a*b^2*x^2+72*a^2*b*x+360*b^2*x^2+6*a^3+360*a*b*x+72*a^2+720*b*x+360*a+720)*
exp(-b*x-a)/b^4

_______________________________________________________________________________________

Maxima [A]  time = 0.818402, size = 265, normalized size = 0.67 \[ -\frac{{\left (b^{3} x^{3} + 3 \, b^{2} x^{2} + 6 \, b x + 6\right )} a^{3} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} - \frac{3 \,{\left (b^{4} x^{4} + 4 \, b^{3} x^{3} + 12 \, b^{2} x^{2} + 24 \, b x + 24\right )} a^{2} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} - \frac{3 \,{\left (b^{5} x^{5} + 5 \, b^{4} x^{4} + 20 \, b^{3} x^{3} + 60 \, b^{2} x^{2} + 120 \, b x + 120\right )} a e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} - \frac{{\left (b^{6} x^{6} + 6 \, b^{5} x^{5} + 30 \, b^{4} x^{4} + 120 \, b^{3} x^{3} + 360 \, b^{2} x^{2} + 720 \, b x + 720\right )} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x + a)^3*x^3*e^(-b*x - a),x, algorithm="maxima")

[Out]

-(b^3*x^3 + 3*b^2*x^2 + 6*b*x + 6)*a^3*e^(-b*x - a)/b^4 - 3*(b^4*x^4 + 4*b^3*x^3
+ 12*b^2*x^2 + 24*b*x + 24)*a^2*e^(-b*x - a)/b^4 - 3*(b^5*x^5 + 5*b^4*x^4 + 20*
b^3*x^3 + 60*b^2*x^2 + 120*b*x + 120)*a*e^(-b*x - a)/b^4 - (b^6*x^6 + 6*b^5*x^5
+ 30*b^4*x^4 + 120*b^3*x^3 + 360*b^2*x^2 + 720*b*x + 720)*e^(-b*x - a)/b^4

_______________________________________________________________________________________

Fricas [A]  time = 0.256882, size = 163, normalized size = 0.41 \[ -\frac{{\left (b^{6} x^{6} + 3 \,{\left (a + 2\right )} b^{5} x^{5} + 3 \,{\left (a^{2} + 5 \, a + 10\right )} b^{4} x^{4} +{\left (a^{3} + 12 \, a^{2} + 60 \, a + 120\right )} b^{3} x^{3} + 3 \,{\left (a^{3} + 12 \, a^{2} + 60 \, a + 120\right )} b^{2} x^{2} + 6 \, a^{3} + 6 \,{\left (a^{3} + 12 \, a^{2} + 60 \, a + 120\right )} b x + 72 \, a^{2} + 360 \, a + 720\right )} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{4}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x + a)^3*x^3*e^(-b*x - a),x, algorithm="fricas")

[Out]

-(b^6*x^6 + 3*(a + 2)*b^5*x^5 + 3*(a^2 + 5*a + 10)*b^4*x^4 + (a^3 + 12*a^2 + 60*
a + 120)*b^3*x^3 + 3*(a^3 + 12*a^2 + 60*a + 120)*b^2*x^2 + 6*a^3 + 6*(a^3 + 12*a
^2 + 60*a + 120)*b*x + 72*a^2 + 360*a + 720)*e^(-b*x - a)/b^4

_______________________________________________________________________________________

Sympy [A]  time = 0.520658, size = 236, normalized size = 0.59 \[ \begin{cases} \frac{\left (- a^{3} b^{3} x^{3} - 3 a^{3} b^{2} x^{2} - 6 a^{3} b x - 6 a^{3} - 3 a^{2} b^{4} x^{4} - 12 a^{2} b^{3} x^{3} - 36 a^{2} b^{2} x^{2} - 72 a^{2} b x - 72 a^{2} - 3 a b^{5} x^{5} - 15 a b^{4} x^{4} - 60 a b^{3} x^{3} - 180 a b^{2} x^{2} - 360 a b x - 360 a - b^{6} x^{6} - 6 b^{5} x^{5} - 30 b^{4} x^{4} - 120 b^{3} x^{3} - 360 b^{2} x^{2} - 720 b x - 720\right ) e^{- a - b x}}{b^{4}} & \text{for}\: b^{4} \neq 0 \\\frac{a^{3} x^{4}}{4} + \frac{3 a^{2} b x^{5}}{5} + \frac{a b^{2} x^{6}}{2} + \frac{b^{3} x^{7}}{7} & \text{otherwise} \end{cases} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate(exp(-b*x-a)*x**3*(b*x+a)**3,x)

[Out]

Piecewise(((-a**3*b**3*x**3 - 3*a**3*b**2*x**2 - 6*a**3*b*x - 6*a**3 - 3*a**2*b*
*4*x**4 - 12*a**2*b**3*x**3 - 36*a**2*b**2*x**2 - 72*a**2*b*x - 72*a**2 - 3*a*b*
*5*x**5 - 15*a*b**4*x**4 - 60*a*b**3*x**3 - 180*a*b**2*x**2 - 360*a*b*x - 360*a
- b**6*x**6 - 6*b**5*x**5 - 30*b**4*x**4 - 120*b**3*x**3 - 360*b**2*x**2 - 720*b
*x - 720)*exp(-a - b*x)/b**4, Ne(b**4, 0)), (a**3*x**4/4 + 3*a**2*b*x**5/5 + a*b
**2*x**6/2 + b**3*x**7/7, True))

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [A]  time = 0.258431, size = 273, normalized size = 0.69 \[ -\frac{{\left (b^{9} x^{6} + 3 \, a b^{8} x^{5} + 3 \, a^{2} b^{7} x^{4} + 6 \, b^{8} x^{5} + a^{3} b^{6} x^{3} + 15 \, a b^{7} x^{4} + 12 \, a^{2} b^{6} x^{3} + 30 \, b^{7} x^{4} + 3 \, a^{3} b^{5} x^{2} + 60 \, a b^{6} x^{3} + 36 \, a^{2} b^{5} x^{2} + 120 \, b^{6} x^{3} + 6 \, a^{3} b^{4} x + 180 \, a b^{5} x^{2} + 72 \, a^{2} b^{4} x + 360 \, b^{5} x^{2} + 6 \, a^{3} b^{3} + 360 \, a b^{4} x + 72 \, a^{2} b^{3} + 720 \, b^{4} x + 360 \, a b^{3} + 720 \, b^{3}\right )} e^{\left (-b x - a\right )}}{b^{7}} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((b*x + a)^3*x^3*e^(-b*x - a),x, algorithm="giac")

[Out]

-(b^9*x^6 + 3*a*b^8*x^5 + 3*a^2*b^7*x^4 + 6*b^8*x^5 + a^3*b^6*x^3 + 15*a*b^7*x^4
+ 12*a^2*b^6*x^3 + 30*b^7*x^4 + 3*a^3*b^5*x^2 + 60*a*b^6*x^3 + 36*a^2*b^5*x^2 +
120*b^6*x^3 + 6*a^3*b^4*x + 180*a*b^5*x^2 + 72*a^2*b^4*x + 360*b^5*x^2 + 6*a^3*
b^3 + 360*a*b^4*x + 72*a^2*b^3 + 720*b^4*x + 360*a*b^3 + 720*b^3)*e^(-b*x - a)/b
^7